Question

求由p=3cosθ和p=1+cosθ所围成的图形的面积

答案如下，麻烦大神解释下红圈部分，谢谢！

Answer 1

求解过程如图：

扩展资料：

当形成曲线的动点P（x，y），随着另一个已知曲线f（x，y）=0上的动点Q（w，z）有规律的运动时，我们可以得到w=g（x，y），z=h（x，y），再利用f（x，y）=0，可得到曲线方程。

对曲线方程进行积分，以求得需要的数学量，称为曲线积分。

曲线积分的几何意义

1、在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分；

2、对弧长的曲线积分称为第一类曲线积分，对于第一类曲线积分，不含被积函数，是曲线积分长度；含被积函数，理解为被积函数是曲线线密度，积分就是曲线质量或面积；

3、对坐标轴的曲线积分称为第二类曲线积分，对于第二类曲线积分，把积分函数看成力F,积分之后为力F沿着曲线所作功。

Answer 2

由p=3cosθ和p=1+cosθ所围成的图形的面积为S=(5/4)π-(9/8)(√3-1) 。

解题过程如下：

由极坐标转化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ。

可以得到x²+y²=（ρcosθ)²+(ρsinθ)²=ρ²(cos²θ+sin²θ)=ρ²。

由ρ=3cosθ，等式两边同时ρ，即可得到ρ²=3ρcosθ。

又ρ²=x²+y²，ρcosθ=x。

故ρ=3cosθ可以转化为方程x²+y²=3x。

x²+y²=3x转化为(x-3/2)²+y²=9/4，是一个圆心在(3/2,0)，半径为R=3/2的圆，其在极点(原点)处的切线是y轴。

所以，阴影部分对称，所以可以先求一半的面积，乘以2就可以得到整个阴影部分面积。

用S表示整个阴影部分面积，阴影上半部分的面积为S/2，求解如下：

S/2=【D】∫∫ρdρdθ

=【0,π/3】∫dθ【0,1+cosθ】∫ρdρ+【π/3,π/2】∫dθ【0,3cosθ】∫ρdρ

=【0,π/3】(1/2)∫(1+cosθ)²dθ+【π/3,π/2】(9/2)∫cos²θdθ

=【0,π/3】(1/2)∫(1+2cosθ+cos²θ)dθ+【π/3,π/2】(9/4)∫(1+cos2θ)dθ

=(1/2)[θ+2sinθ+(1/2)θ+(1/4)sin2θ]【0,π/3】+(9/4)[θ+(1/2)sin2θ]【π/3,π/2】

=(1/2)[(π/3)+√3+(π/6)+(√3/8)]+(9/4)[(π/2)-(π/3)-(√3/4)]

=(1/2)[(π/2)+9/8)(√3)]+(9/4)[(π/6)-√3/4)]

=(5/8)π-(9/16)(√3-1)

即阴影部分面积S=(5/4)π-(9/8)(√3-1) 。

Answer 3

求由ρ=3cosθ和ρ=1+cosθ所围成的图形的面积
解：由ρ=3cosθ得x²+y²=3x；即(x-3/2)²+y²=9/4是一个圆心在(3/2，0)，
半径R=3/2的园。在极点(原点)处的切线是y轴。
阴影上半部分的面积S/2=【D】∫∫ρdρdθ
=【0，π/3】∫dθ【0，1+cosθ】∫ρdρ+【π/3，π/2】∫dθ【0，3cosθ】∫ρdρ
=【0，π/3】(1/2)∫(1+cosθ)²dθ+【π/3，π/2】(9/2)∫cos²θdθ
=【0，π/3】(1/2)∫(1+2cosθ+cos²θ)dθ+【π/3，π/2】(9/4)∫(1+cos2θ)dθ
=(1/2)[θ+2sinθ+(1/2)θ+(1/4)sin2θ]【0，π/3】
+(9/4)[θ+(1/2)sin2θ]【π/3，π/2】
=(1/2)[(π/3)+√3+(π/6)+(√3/8)]+(9/4)[(π/2)-(π/3)-(√3/4)]
=(1/2)[(π/2)+9/8)(√3)]+(9/4)[(π/6)-√3/4)]
=(5/8)π-(9/16)(√3-1)
即S=(5/4)π-(9/8)(√3-1)