Question

椭圆x²/4+y²/2=1的左右焦点分别是F1、F2,直线l过F2与椭圆相交于A、B两点,o

椭圆x²/4+y²/2=1的左右焦点分别为F1F2，直线l过F2与椭圆交于AB两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，求直线l的方程。 求计算详细答案 不要跳步 我就是不太会算 思路我知道的

Answer 1

解答：
∵ a²=4 ，b²=2 ，
∴ c²=a²-b²=2 ，
则 F2(√2，0)，
设直线 L的方程为 y=k(x-√2) ，
代入椭圆方程得
x²+2k²(x-√2)²=4 ，
即 (2k²+1)x²-4√2k²*x+(4k²-4)=0 ，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
利用韦达定理
∴ x1+x2= 4√2k²/(2k²+1) ，x1*x2=(4k²-4)/(2k²+1) ，
又 y1*y2=k²(x1-√2)(x2-√2).
∵ 以AB为直线的圆过原点O ，
∴ OA⊥OB
∴ x1x2+y1y2=0 ，
即 (k²+1)(x1x2-√2k²(x1+x2)-2k²=0
代入x1+x2= 4√2k²/(2k²+1) ，x1*x2=(4k²-4)/(2k²+1) ，
∴ k=±√2 ，
∴ L 的方程为 y=√2x-2 或 y= -√2x+2 。

追问

y1y2怎么来的   为什么要求x1+x2什么啊

追答

(x1,y1),(x2,y2)在直线y=k(x-√2) 上，

∴ y1=k(x1-√2)，y2=k(x2-√2)
∴ y1*y2=k²(x1-√2)(x2-√2).

∵ 1x2+y1y2=0 ，
即 (k²+1)(x1x2-√2k²(x1+x2)-2k²=0
∴ 需要求x1+x2,x1*x2