Question

微分方程求解！！急！！！谢谢！！！

谁能帮我把这个微分方程解出来啊，解出关于t的x的解。有数学专业 的吗？您看看，这个方程能用手解吗？
这种情况下MATLAB能解吗？我同学说MATLAB需要知道m，c，k之类的具体的数值才能解。
我希望能附上结果。

Answer 1

这个方程可以手工解，解的流程是

1. 先求右边为0时的齐次方程的通解，具体形式与m c k 有关，如果c，m,k均为正数，有可能是阻尼振荡，临界阻尼，过阻尼。如果c=0且m,k为正数，则是振荡解（余弦或正弦）。其它情况我没解过。

2. 找非此次方程的一个特解。

3. 把上面两部分加起来作为原方程的解。

如果c，m,k均为正数，且感兴趣的是时间足够长之后的稳态解，则只求第2部分的解即可。

 

这种方程在不知道m,c,k的具体数值的情况下有不少符号演算软件都可以解，例如matlab, mathematica等，个人认为后者更好使。

我计算的结果如下：

追问

嗯  您非常耐心，非常感谢

就是我想问问，那个手解的能解吗？这个式子算通解加特解比较困难吧。它不是常用的那些微分方程形式。

还有后两项

是将简化了还是怎么弄的。

嘿嘿

追答

甭客气。
您这个方程是最常见的方程呀，带阻尼振子的强迫运动，属于最简单最基本的问题。
手工写解通常就是用齐次通解加非齐次特解的方法，
齐次通解是机械性的走流程，没有任何要思考的。
非齐次部分可能要动脑经，很多实际问题都写不出解析解，但您现在这个非齐次项不过是一个常数加正弦，特解一定是常数加带相移的正弦，很简单的。

网页给出的方程的变形，只是简单把三角换成了复数形式并移项呀。

追问

那您说我用您这个软件的解和手解的答案一样吗？如果一样，我就直接引用软件解的那个了

追答

是完全等效的，但是那些根号里面的项可能为负数的，暂态解有 阻尼振荡，临界阻尼，过阻尼等情况，您如果是分析的具体物理对象，有必要把这几种情况分开讨论。

追问

行吧 不想讨论那么多情况了 我的水平暂时达不到
感觉对我来说好难的 您觉得简单呢 我是机械专业的 这个方程我问过数学专业的 他说手解的话很复杂 软件的话 系数需要具体数值。
我会给您采纳为满意回答

追答

我也是做应用的，不是数学专业。按照我的理解，这个方程对力学专业应该是最基本的，机械专业不是也要学力学吗？真的不复杂，不要害怕这样的方程，照高数教材上的"二阶常系数线性微分方程"解法走一遍就会了。

Answer 2