Question

如图，圆O的直径AB是4，过B点的直线MN是圆O的切线，D,C是圆O上的两点，连接AD,BD和BC

如图，圆O的直径AB是4，过B点的直线MN是圆O的切线，D,C是圆O上的两点，连接AD,BD和BC.
（1）求：∠CBN＝∠CDB
（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=15°，求DC长.

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，
∵MN切⊙O于点B，
∴∠ABN=∠ABC+∠CBN=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠ABC+∠CBN；
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CBN=∠CDB；

（2）解：连接OD、OC，过点O作OE⊥CD于点E；
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC=∠BDC，
∴弧AC=弧BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵DC是∠ADB的平分线，
∴∠BDC=45°；
∴∠BOC=90°；
又∵∠DAB=15°，
∴∠DOB=30°，
∴∠DOC=120°
∵OD=OC，OE⊥CD，
∴∠DOE=60°
∴∠ODE=30°，
∵OD=2，
∴OE=1，DE=3
∴CD=2DE=2√3