Question

如图，在Rt三角形ABc中，角C等于90度，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转，

如图，在Rt三角形ABc中，角C等于90度，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转，当Ap旋转至AP’⊥AB时，点B、P、P'恰好在同一直线上。此时作p'E⊥Ac于点E。1求证角cBp=角ABP2求证AE=cP3当cP:PE=3:2，BP'=5√5时，求线段AB的长。

Answer 1

（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；

（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，

∠PAD＝∠AP′E
∠ADP＝∠P′EA＝90°
AP＝AP′
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；

Answer 2

证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。
∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）。∴∠CBP=∠ABP。
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。
∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E。
在△APD和△P′AE中，
∵，
∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。
（3）∵，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。
在Rt△AEP′中，，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE。
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。
∴。即。∴。
在Rt△ABP′中，，即。
解得AB=10

Answer 3