Question

如图 在菱形abcd中 ab=bd 点ef分别在ab ad上 且ae=df 连接bf与df相交于点

如图 在菱形abcd中 ab=bd 点ef分别在ab ad上 且ae=df 连接bf与df相交于点g 连接cg
(1)求证三角形aed全等三角形dfb
(2)求角bgd的度数
(3)求证dg+bg=cg

Answer 1

解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．
S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=
1
2
CG，CM=

3

2
CG，
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2×
1
2
×
1
2
CG×

3

2
CG=

3

4
CG2．
③过点F作FP∥AE于P点．
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即 BG=6GF．
故选D．