Question

已知双曲线x²-y²/3=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4对称的两点,求K的范围

Answer 1

设关于L对称的两个双曲线上的点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
则根据对称的定义，可知：线段PQ被直线L垂直平分
由PQ⊥L
可知kPQ=-1/kL=-1/k
因此可设直线PQ的方程为：y=(-1/k)*x+b
联立直线PQ与双曲线：3x^-y^=1的方程，消去y，可得到关于x的一元二次方程：
(3k^-1)x^ +2bkx-(b^+3)k^=0
（当3k^-1=0，即k=±√3/3时，方程为一元一次方程，说明直线PQ与双曲线只有一个交点，必然不可能满足存在对称点的条件，故k=±√3/3不符合题意 ，k≠±√3/3，3k^-1≠0 ）

此方程的两个实根必为P，Q这两个直线PQ与双曲线交点的横坐标x1,x2
由韦达定理有：
x1+x2=-2bk/(3k^-1) ①

而此方程要有两个不等的实根x1,x2，必然要使：
△=(2bk)^-4*(3k^-1)*[-(b^+3)k^]>0
化简后即：k^b^+（3k^-1）>0 ②

P,Q两点代入所设的直线PQ的方程有：
y1=(-1/k)x1+b
y2=(-1/k)x2+b
于是：
y1+y2=(-1/k)*(x1+x2)+2b
将①代入：
y1+y2=6bk^/(3k^-1) ③

由刚才已知的L是线段PQ的中垂线，可知，PQ的中点M必在直线L上，而PQ中点M根据中点坐标公式可得：
M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
代入①，③式，可得：
M（-bk/(3k^-1),3bk^/(3k^-1)）
而M点在直线L:y=kx+4上，可将其带入方程两侧替换x,y的位置，进行化简，并最终可得到关于k和b的关系式为：
bk^=3k^-1
当k=0时，显然等式不成立，故k不能为0，k≠0 ※

∴有:b=(3k^-1)/k^ ④

将其带入②，并作出化简，最终可得：
(3k^-1)(4k^-1)>0
<=>k^>1/3或k^<1/4
<=>k>√3/3或k<-√3/3或-1/2<k<1/2

结合※式：k≠0，最终可得到k的取值范围是：
k∈(-∞，-√3/3)∪(-1/2，0)∪(0，1/2)∪(√3/3，+∞)

在此说明一下，k>0和k<0的这两个区域必然是相对称的情况，不用多说，拿k>0的情况来说，当k∈(0,1/2)时，双曲线关于直线L对称的两个点，是同时位于双曲线左支上的；而当k∈(√3/3,+∞)时，这两个点却是分别位于双曲线的左、右支上！之所以多说这么一句，也是为了当楼主自己做得出以上结论时，有一个大致检测自己答案的依据！