Question

已知x1,x2是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根。

若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值。

Answer 1

(x - 2)(x - m) = (p - 2)(p - m)
展开得：
x^2 - mx - 2x + 2m = p^2 - mp - 2p + 2m
消去相同项 2m ：
x^2 - mx - 2x = p^2 - mp - 2p
x^2 - p^2 - mx - 2x + mp + 2p = 0
提取后两项的公因式 (m+2) ：
x^2 - p^2 - [(m + 2)x - (m + 2)p] = 0
运用平方差公式，同时提取后两项的公因式 (x-p) ：
(x + p)(x - p) - (x - p)(m + 2) = 0
提取公因式 (x-p) ：
(x - p)(x + p - m - 2) = 0
因此：
x1 - p = 0
x2 + p - m - 2 = 0
易得：
x1 = p
x2 = -p + m + 2

2.

（这一问一开始是普通题，就用配方硬解）

若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长，设该直角三角形的面积为S，则有：
S = p(-p + m + 2)

配方：
S = -p^2 + mp + 2p
= -p^2 + (m + 2)p
= -{p^2 - 2*[(m + 2)/2]p + [(m + 2)/2]^2 - [(m + 2)/2]^2}
= -[p - (m + 2)/2]^2 + (m + 2)^2/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2 + 4m + 4)/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2)/4 + m + 1

∵ 二次项系数 a = -1 < 0
∴ S 有最大值
当 p = m/2 + 1 时，
S 有最大值 (m^2)/4 + m + 1

∵ 在该直角三角形中，p > 0
即 m/2 + 1 > 0
∴ m > -2

答：x1 = p，x2 = -p + m + 2；
当 m > -2 且 p = m/2 + 1 时，此直角三角形的面积最大，最大值为[(m^2)/4 + m + 1]。

参考:http://hi.baidu.com/xxcctthi/blog/item/4acf11df1b12ee156227988c.html

Answer 2

解方程得到x1=p,x2=m+2-p要使三角形面积最大，x1*x2最大。p(m+2-p)最大。即(m+2)p-p^2因此当p=(m+2)/2时三角形面积最大。最大值为（m+2)^2/4

Answer 3

(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)展开得x^2-(2+m)-p^2+(2+m)p=0
S=x1*x2/2
S=[-p^2+(2+m)p]/2=p(2+m-p)/2<=[p^2+(m-p+2)^2]/4
当且仅当p=m-p+2时取等号
即m=2p-2时
直角三角形面积最大

Answer 4

若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长，设该直角三角形的面积为S，则有：
S
=
p(-p
+
m
+
2)
配方：
S
=
-p^2
+
mp
+
2p
=
-p^2
+
(m
+
2)p
=
-{p^2
-
2*[(m
+
2)/2]p
+
[(m
+
2)/2]^2
-
[(m
+
2)/2]^2}
=
-[p
-
(m
+
2)/2]^2
+
(m
+
2)^2/4
=
-[p
-
(m/2
+
1)]^2
+
(m^2
+
4m
+
4)/4
=
-[p
-
(m/2
+
1)]^2
+
(m^2)/4
+
m
+
1
∵
二次项系数
a
=
-1
<
0
∴
S
有最大值
当
p
=
m/2
+
1
时，
S
有最大值
(m^2)/4
+
m
+
1
∵
在该直角三角形中，p
>
0
即
m/2
+
1
>
0
∴
m
>
-2
答：x1
=
p，x2
=
-p
+
m
+
2；
当
m
>
-2
且
p
=
m/2
+
1
时，此直角三角形的面积最大，最大值为[(m^2)/4
+
m
+
1]。

Answer 5

(2)直接用二次函数性质就行