Question

设F(u,v)是可微函数，而方程F(x+z/y,y+z/x)=0，确定的函数z=(x,y) 证明x

设F(u,v)是可微函数，而方程F(x+z/y,y+z/x)=0，确定的函数z=(x,y) 证明x*(αz/αx)+y*(αZ/αy)=z-xy α为偏导

Answer 1

设F关于u和v的偏导函数分别记为f'1,f'2，下记f'1(x+z/y)=a,f'2(y+z/x)=b（a和b都是关于x,y,z的表达式）
则由F(x+z/y,y+z/x)=0

由复合函数偏导法则αF/αx=a -bz/(x^2)
αF/αy= - az/(y^2)+b
αF/αz=a/y+b/x

所以x*(αz/αx)+y*(αz/αy)

= - x*(αF/αx) / (αF/αz) - y*(αF/αy) / (αF/αz)
= - x*【a -bz/(x^2)】/【a/y+b/x】-y*【- az/(y^2)+b】/【a/y+b/x】
= - (ax-bz/x+by-az/y)/【a/y+b/x】
= - (ax+by)/【a/y+b/x】+ (bz/x+az/y)/【a/y+b/x】
= - xy+z

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Answer 2

因为y=-x²+3x-m和y=3-x有且只有一个交点
所以-x²+3x-m=3-x
即-x²+4x-m-3=0
所以f(x)=x²-4x+m+3=0
所以f(0)f(3)<0
(m+3)m<0
-3<m<0