Question

二次函数题

球3②解

26．如图1，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点
C，A点坐标为(-2,0)，B点坐标为(4,0)．直线l过B、C两点．点P是线段BC上的一个动点(点P不与B、C两点重合).在点P运动过程中，始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动，该直线与抛物线的交点为M，与x轴的交点为N.
（1）①求出抛物线的函数表达式.
②直接写出直线l的函数表达式.
（2）若直线MN把△OBC的面积分成1:3的两部分，求出此时点P的坐标.
（3）如图2，①连接BM、CM，设△MBC的面积是S，在点P的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②当△MBC的面积最大时,直线l上另有一动点E,在坐标平面内是否存在点F,使以点A、P、E、F为顶点的四边形为菱形．若存在请直接写出点F的坐标；若不存在,请说明理由．
BC解析式：y=-x+4

Answer 1

一开始感觉这是一道初三题目，可是后来做到第三小问，必须用到高中知识啊。
(1)由题可知：x=-2和x=4为抛物线的两个零解，所以可设抛物线方程为k(x+2)*(x-4)=0.将点C(0,4)带入解得：k=-1/2.所以抛物线的函数表达式为：y=-1/2x²+x+4.直线 L 的方程为y=-x+4.
(2)设点P坐标为（x0,y0）,由题意：S△BOC=4S△BNP=4，且NP=NB，所以S△BNP=1，NP=√2，即y0=√2,带入直线 L 的方程可得：x0=4-√2.所以P（4-√2，√2）.
(3)当点过M作抛物线的切线与直线L平行时，S取得最大值。设点M（x1,y1），对抛物线方程求导得：y'=-x+1. 因此：-x1+1=-1.解得M(2,4).此时要用到点到直线的距离公式，求得点M到BC距离为d=√2.则S△MBC=1/2*BC*d=1/2*4√2*√2=4.
存在两个F点，使得APEF为菱形，F(0，-2√2)，F(0,2√2).

追问

存在四个F点

追答

我一连犯了两个错误，把A点当成原点，把直线MN当成了直线L，导致求出了错误的答案。又看了一遍，我算出3个点来(4,6)、(-2+√10,-√10)、(-2-√10,√10).你给的第4个点(3,-5)我带入验算了，不对啊。

追问

3，-5对的..我算过了..

Answer 2

（1）①用交点式，C（0，4），可快速得到答案y=-0.5x2+x+4   ②两点式，y=-x+4

手写的好麻烦，送上图片吧。

追问

我要问3②思密达..

Answer 3

追问

F共四点

追答

我觉得F点只有三个，上次回答忽略了一个。

下面补充：

追问

真心有四个呀..

追答

我是这样认为的，不知正确与否：
待求菱形共四个顶点：A、P、E、F，点E规定在线段l上，点A与点P的位置关系有两种可能，1.是相邻的顶点，此时有两个E点，其一在点P的左上方，另一在点P的右下方，此时能作出两个合符题目条件的菱形；2.是相对的顶点，就是说线段AP是待求菱形的对角线，此时菱形的其余两个顶点必在线段AP的垂直平分线上，所以点E就是该垂直平分线与直线l的交点，待求的点F是点E关于线段AP的对称点，因为两条直线只能有一个交点，因此在这种可能情况下，点E只能有一个，不可能有 其他的了，自然，这种情况下，F点就只有一个。
望您及其他高手指正。（最好写出第四点的坐标。）

追问

AP=AE，作PE垂直平分线

追答

是呀，还有第四个点F.

Answer 4

该题条件不足，无法求的二次函数的函数表达式。
估计提问者少写了一个条件吧。。。。若C点坐标为（0，4），则可求的二次函数解析式为：Y=-1/2X²+X+4
直线解析式为：Y=-X+4

求3的第二小问：
可知，将直线l平移至与二次函数相切时的切点，即为三角形面积最大时的点M。
求得，此时直线l'的解析式为：Y=-X+6，则，点M坐标为（2，4）,点P(2,2)已知A(-2,0)
此时线段AP长为2根号5
由图像可知，必然存在两个不同的点F
F1(-2-根号10，根号10),F2(根号10-2，-根号10)。

追问

F1(-2-根号10，根号10)
F2(根号10-2，-根号10)
F3（4,6）
F4（3，-5）
球步骤，不求答案

追答

嗯，我考虑少了，你说的对。不过你会了就好~呵呵呵

Answer 5

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追问

你智商多少- -

追答

比你高就行···················

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( (oo) ) 头三！ 看得懂不？！智障小儿呀................真他妈无语啊！！！
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