Question

已知函数fx=x^2+2ax+a-1，gx=4ax-3，当x∈(1，4)时，fx的图像在gx的下方

已知函数fx=x^2+2ax+a-1，gx=4ax-3，当x∈(1，4)时，fx的图像在gx的下方。求实数a的取值范围

Answer 1

即在(1,4)区间： f(x)<g(x)
x²+2ax+a-1<4ax-3
得：a(2x-1)>x²+2
即a>(x²+2)/(2x-1)=h(x)
令t=2x-1, 则： 1<t<7
x=(t+1)/2
h(x)=(t²+2t+9)/(4t)=(t+9/t)/4+ 1/2
由均值不等式，t+9/t>=2√(t*9/t)=6， 当t=9/t, 即t=3时取等号，故h的最小值为6/4+1/2=2
最大值在边界点取得，t=1时，h=3, t=7时，h=18/7, 所以h的取值范围是[2,3)
因为a>h, 所以a的取值范围是a>3