Question

设f（x）在「a，b」上连续且f（x）＞0，F（x）=定积分（上限x下限a）f（t）dt+定积分（

设f（x）在「a，b」上连续且f（x）＞0，F（x）=定积分（上限x下限a）f（t）dt+定积分（上限x下限b）1／f（t）dt，证明F'（x）大于等于2，方程F（x）=0在（a，b）内有且只有一根

Answer 1

(1) 证明：
设不定积分 ∫f(t)dt的一个原函数为F1(t)；∫1/f(t) *dt 的一个原函数为 F2(t)，则：
F1’(t) = f(t)，F2’(t) = 1/f(t)
F(x) =[x,a]∫f(t)dt + [x,b]∫[1/f(t)]*dt
= F1(x) – F1(a) + F2(x) –F2(b)
F’(x) = F1’(x) + F2’(x)
= f(x) + 1/f(x)
由于当x∈[a,b]时,f(x)>0，因此，在此区间内有：
F(x) = f(x)+ 1/f(x) ≥ 2√(f(x)*1/f(x)) =2
即：F(x) ≥2
证毕
说明：该结论要求定积分中的可变上限x必须满足a≤x≤b,而不是仅仅是f(x)在[a,b]上大于0；

(2)
由(1) 当x∈[a,b]时, F’(x)=2>0，因此F(x) 在区间[a,b]上单调递增；
F(a) = F1(a) – F1(a) + F2(a)-F2(b) = -[a,b]∫1/f(t)dt
F(b) = F1(b )– F1(a) + F2(b)-F2(b) = [a,b]∫f(t)dt
由于 [a,b]上 f(t)>0 ==> 1/f(t)>0，因此[a,b]上的积分
F(a) = -[a,b]∫1/f(t)dt < 0；
F(b) = [a,b]∫f(t) *dt >0；
即 F(a)*F(b) <0
因此 F(x) = 0 在[a,b] 上有根
由于 F(x)在[a,b]上单调递增，因此 F(x) = 0在[a,b]上仅有一个根；

追问

为什么f（x）+1／f（x）＞2根号f（x）1／f（x）这一步怎么来的

追答

基本不等式，任意a>0,b>0，有 a+b ≥ 2√(a*b)

追问

谢谢明白了