Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=C

F，BD⊥CF成立。
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长。(不要用三角函数）

Answer 1

⑴BD=CF成立。理由：∵ΔABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵ADEF是正方形，∴AD=AF，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠缺闭高DAC，即∠BAD=∠CAF，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF。⑵①由⑴全等得：∠伏尺ABD=∠ACE，∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=(∠ABG+∠GBC)+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BGC=90°，∴BG⊥CF。②过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷√2=1，∴BH=3，态禅∴BD=√(BE&^2+DH^2)=√10，延长AD交BC于P，则BP=CP，(AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一)由∠BCG=90°知：DP∥CG，∴BD/DG=BP/CP=1，∴BG=2BD=2√10。

Answer 2

⑴BD=CF成立。理由：∵ΔABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵ADEF是正方形，∴AD=AF，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠缺闭高DAC，即∠BAD=∠CAF，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF。⑵①由⑴全等得：∠伏尺ABD=∠ACE，∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=(∠ABG+∠GBC)+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BGC=90°，∴BG⊥CF。②过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷√2=1，∴BH=3，态禅∴BD=√(BE&^2+DH^2)=√10，延长AD交BC于P，则BP=CP，(AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一)由∠BCG=90°知：DP∥CG，∴BD/DG=BP/CP=1，∴BG=2BD=2√10。