Question

线性代数，求教

已知是矩阵A是mxn矩阵,n>m,r(A)=m,B是nx(n-m),r(B)=n-m且AB=0。证明:B的列向量组
为线性方程组AX=0的一个基础解系。

Answer 1

一，如果你指的是用黑笔写的线性方程组，那么直接用矩阵表示和具体写出变量是一样的。如果你指的是用黑笔写的矩阵（1 0...），那么这个属于记号问题。解答中令x_1和x_4的值为1，0，那么对应在向量上应该写在第一个和第四个位置。如果你用第二个位置表示x_4，也没有问题，只不过其他人看不懂。至于为什么写成列向量而不是行向量，这在定义中有写吧，也是习惯性的记号而已。
二，从最后方程组来看，x_2和x_3可以被x_1和x_4表示出来，你可以认为这个解空间由x_1和x_4的值完全确定。那么看(x_1,x_4)组成的向量，它的一组标准基就是解答中令的内容。当然，任何一组基都是对的，例如(1,0)(1,1)组成的基，对应于令x_1=1,x_4=0和x_1=1,x_4=1。一般来说选择的基越简单越好。
三，基础解系只是把解竖着写下来，你可以代入试试。
用矩阵表示的线性方程组解法其实和普通解法一样，我觉得可以把书再看一遍。

Answer 2

r(A)=m,那么AX=0的齐次线性方程组解空间的个数是n-r(A)=n-m
把B列分块令B=（β1,β2,...β(n-m))，r(B)=n-m，
所以B是列满秩，n-m个列向量是线性无关的。
又AB=0A（β1,β2,...β(n-m))=0
即Aβi=0（i=1,...,n-m)，
表明B的列向量都是Ax=0的解
根据上面两条可知B的列向量组为线性方程组AX=0的一个基础解系

Answer 3

因为r(A)=m, 所以AX=0的基础解系包含n-m个线性无关向量
因为AB=0，所以B的列向量都是AX=0的解
r(B)=n-m，B是nx(n-m)所以，B的n-m个列向量线性无关
综上，
B的列向量组为线性方程组AX=0的一个基础解系