Question

求解，数列，，，学霸帮忙，，，，

Answer 1

1.
a1+3a2+...+3^(n-1)·an=n/3
令n=1，得a1=1/3
n≥2时，
a1+3a2+...+3^(n-1)·an=n/3 (1)
a1+3a2+...+3^(n-2)·a(n-1)=(n-1)/3 (2)
(1)-(2)
3^(n-1)·an=n/3-(n-1)/3=1/3
an=1/3ⁿ
n=1时，a1=1/3，同样满足通项公式，数列{an}的通项公式为an=1/3ⁿ
2.
bn=n/an=n/(1/3ⁿ)=n·3ⁿ
Sn=b1+b2+...+bn=1×3+2×3²+3×3³+...+n×3ⁿ
3Sn=1×3²+2×3³+...+(n-1)×3ⁿ+n×3^(n+1)
Sn-3Sn=-2Sn
=3+3²+...+3ⁿ-n×3^(n+1)
=3×(3ⁿ-1)/(3-1) -n×3^(n+1)
=[(1-2n)·3^(n+1) -3]/2
Sn=[(2n-1)·3^(n+1)+3]/4