Question

计算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz 其中 V 是由圆锥面 z=根号(x^2+y^2)与平面 z = 1 围成的闭区域.

写出过程

Answer 1

　　数学上的三重积分:三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上,将区域任意分成n个子域Δvi(i=1,2,3…,n)并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξi,ηi,ζi),i从1到n作和Σf(ξi,ηi,ζi)Δvi.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,其中dv叫做体积元素。
　　三重积分的计算一般将原积分化为二重积分再计算.

　　约定:约定:∫[a,b]表示[a,b]上的定积分,∫∫[D]表示区域D上的二重积分.
　　原式=∫[0,1]dz∫∫[D](x^2+y^2)dxdy 其中D:x^2+y^≤z^2(z≥0)的平面区域
　　而∫∫[D](x^2+y^2)dxdy=∫[0,2π]dθ∫[0,z]r^3dr (极坐标变换)
　　其中∫[0,z]r^3dr=(1/4)r^4|[0,z]=z^4/4
　　∫∫[D](x^2+y^2)dxdy =∫[0,2π](z^4/4)dθ
　　=(z^4/4)·2π
　　=(π/2)z^4
　　所以原式=∫[0,1]((π/2)z^4)dz
　　=(π/10)z^5|[0,1]
　　=π/10

Answer 2

V:｛0≤r≤,0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4
∴∫∫∫V（x²＋y²）dxdydz
＝∫0到2π dθ∫0到π／4dφ∫0到1 r的四次方乘以sin³φ
＝根号2／10π
我的天，太难打字了

Answer 3

图形在xoy面上的投影域为x^2+y^2=1
由极坐标得∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz=∫0到2πdθ∫0到1rdr∫1到rdz=1/3π

Answer 4

祝你好运 我只学到二重积分