Question

两道数学题，高悬赏

记正整数n的因数个数为an，因数和为Sn
(1)求所有n，使Sn<3an^2
(2) Sn<an^3时，n的个数是否有限？若无限，请说明理由，若有限，求出最大的n
解方程[(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)]/(100a+10b+c)=k(a,b,c,k∈N+;a,b,c均小于10且互不相等）
若手动计算，请写出计算过程，若编程，请写出编程过程。最好手动计算！！！！！
再加一题
设三角形ABC三边分别为a,b,c问当(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)的值为多少时，该三角形的面积有三解（a,b,c∈N+且互不相等）
能做几题是几题

Answer 1

我只会做第1题，就先写第1题吧。

把n质因数分解：n=p1^e1 * p2^e2 * ... * pk^ek
记：A(pi^ei) 为质因数分解中 pi^ei 的因数个数，S(pi^ei) 为质数分解中 pi^ei 的因数之和。
则：A(pi^ei) = ei+1，
S(pi^ei) = 1+pi+pi^2+...+pi^ei = [pi^(ei+1)-1]/(pi-1) = [pi^A(pi^ei)-1]/(pi-1)
并且，有这么一个性质：
an = A(p1^e1) * A(p2^e2) * ... * A(pk^ek)
Sn = S(p1^e1) * S(p2^e2) * ... * S(pk^ek)

我们先从简单的入手，假设n只有一个质因数，看看有多少个符合 3an^2>Sn 的，也就是：
[A(pi^ei)]^2 / S(pi^ei) > 3，结果如下：
p1=2，e1可取从0到6。
p2=3，e2可取从0到3。
p3=5，e3可取从0到1。
（再大就不行了）

再说n不止一个质因数的情形。
当 pi 和 ei 较小时，[A(pi^ei)]^2 / S(pi^ei) 会远远大于1，给其它可能的 pi 和 ei 留有富余，所以要多考虑这个富余的因素。

最大的富余量在 p1=2，e1=2 时，此时：[A(pi^ei)]^2 / S(pi^ei) = 9/7，所以要考虑全部
[A(pi^ei)]^2 / S(pi^ei) > 3*9/7 的 pi 和 ei。
所以就是需要一一测试下面的情形：
p1=2，e1可取从0到6。
p2=3，e2可取从0到3。
p3=5，e3可取从0到2。
p4=7，e4可取从0到1。
（再大就不行了）

为了保险起见，最好一一测试这些数。略。

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第2问，an^3 > Sn 是同样的方法，就是考虑的数多了一些。
这样的n的个数当然也是有限的。

当 n 只有一个质因数时：
p1=2，e1可取从0到8。
p2=3，e2可取从0到4。
p3=5，e3可取从0到1。
p4=7，e4可取从0到1。
（再大就不行了）

当 pi 和 ei 比较小时，富余量最大在 p1=2，e1=3，p2=3，e2=2，p3=5，e3=1 时，此时：
A(2^3 * 3^2 * 5) ^3 / S(2^3 * 3^2 * 5) = (4*3*2)^3 / (15*13*6) = 11.8154
所以，最后要考虑的质因数有：
p1=2，e1可取从0到11。
p2=3，e2可取从0到6。
p3=5，e3可取从0到4。
p4=7，e4可取从0到3。
p5=11、13、17，e5可取从0到2。
p6=19到89的质数时，e6可取从0到1。
（再大就不行了）

建议写个程序，一个一个试，看看哪个最大。

Answer 2

96/(80%+60%-1)=240
(8200-400)*(1-45%)=4290
满意请采纳。

追问

什么东西？

Answer 3

96除以(80%+60%-1)=240
(8200-400)乘上(1-45%)=4290

Answer 4

3an^2 你是指三倍an的平方么？

追问

是

追答

你确定题目没错啊？我怎么感觉只要n>0.2.可以呢。。。

追问

假如n=34, 34有4个因数：1,2,17,34,它们的和1+2+17+34=54
即an=4,Sn=54
此时3an^2=48
Sn>3an^2