Question

数列｛an｝满足a1=1，a2=2，an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2），n=1，2，3…

数列｛an｝满足a1=1，a2=2，an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2），n=1，2，3… （1）求a3，a4，并求数列｛an｝的通项公式 （2）设bn=a2n-1/a2n，Sn=b1+b2+…+bn 证明：当n≥6时，丨Sn-2丨＜1/n

Answer 1

（1）、an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2），n∈N 因为cosnπ=2cos（nπ/2）-1=1-sin（nπ/2）， 所以an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2），n∈N变形为 an+2=[1+1/2+1/2cosnπ]an+1/2-1/2cosnπ=1/2[(3+cosnπ)+(1-cosnπ)]，n∈N 当n为奇数时cosnπ=-1，可得an+2=1/2[(3+cosnπ)an+(1-cosnπ)]=an+2 n为奇数 此时为等差数列an=（n+1）/2 当n为偶数时cosnπ=1，可得an+2=1/2[(3+cosnπ)an+(1-cosnπ)]=2an n为偶数 此时为等比数列an=2^(n/2) （也就是根号二的n次幂） 所以通向公式为an=（n+1）/2 （n为奇数），an=2^(n/2) （n为偶数） 所以a3=（3+1）/2=2，a4=2^(4/2) =4 （2）、bn=a2n-1/a2n=[（2n-1+1）/2]/[2^(2n/2)]=n/2^n n∈N Sn=1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n (1/2)*Sn=1*(1/2)^2+……+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1) 相减 1/2Sn=Sn-1/2Sn=1*(1/2)+1*(1/2)^2+……+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1) =(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n*(1/2)^(n+1) =1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1) 所以Sn=2-2*(1/2)^n-n*(1/2)^n =2-(n+2)*(1/2)^n 丨Sn-2丨=|2-(n+2)*(1/2)^n-2|=(n+2)*(1/2)^n 因为Sn是减函数,所以只要证明最大的成立则全成立 即S6成立则Sn也成立 S6=(n+2)*(1/2)^n=6/64<6/36<1/6 所以丨Sn-2丨＜1/n成立 PS:也可用数学归纳法,此处从略! 不懂可追问

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