Question

一道数列极限的高数题，求高手帮忙

数列an收敛于a且a大于2
求(a1+a2+…an)/n的极限（n趋向于无穷大）

Answer 1

lim(n->∞) an =a ,求证： lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{本题简洁直接套 O'Stoltz 定理即}
lim (a1+a2+...+an)/n=lim [(a1+a2+...+an)-(a1+a2+...+a(n-1))]/[n-(n-1)]=lim an=a
也可以定义证明
证明：
① 任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
ε/2 >0 ,存 N1n>N1, |an-a|<ε/2
令: M = 2(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a| +1)/ε
则 n > max{ M , N1} :
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存 N = max{ [M] , N1} ∈Z+
③ n>N
④ 恒： |(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 立
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

追问

从没听过stoltz的这个定理，百度了下，果然很管用的定理，谢谢了！

追答

可能你们还没学到吧，后面会学的的，这个定理的使用要严格按照他的条件，要不然很有可能出错，误证。

追问

这个是数学分析的内容吧？高数中好像从没有讲stoltz定理的。

追答

那就应该是，你可以记一下那个证明，到时候遇到同类问题套着证明证一下就行。要是选择填空就直接用了，还是很实用的定理

Answer 2

极限是a，证明如下：

Answer 3

我觉得答案是：a。