Question

线性代数 高手帮忙 证明一下 谢谢

Answer 1

φ(x)=a0+a1x+a2x^2+......+anx^n,
φ(λ)=a0+a1λ+a2λ^2+......+anλ^n,
φ(A)=a0E+a1A+a2A^2+......+anA^n.
因 λ 是 A 的特征值， 则 Ax=λx,
A^2x=λAx=λ^2x, ..., 同理 A^nx=λ^nx.
又 a0E 的特征值是 a0.
则 φ(A)x=a0Ex+a1Ax+a2A^2x+......+anA^nx
= a0x+a1λx+a2λ^2x+......+anλ^nx=φ(λ)x,
即 φ(λ) 是 φ(A) 的特征值。