复合函数定义域有问题 已知函数f[g(x)]的定义域为B,求f(x)的定义域,

接上文,其实质是已知f[g(x)]中的x的取值范围为B,求出g(x)的值域,此范围便是f(x)的范围举例:已知f[g(x)]=5/√x,其定义域为x>0,g(x)=√x,... 接上文,其实质是已知f[g(x)]中的x的取值范围为B,求出g(x)的值域,此范围便是f(x)的范围
举例:已知f[g(x)]=5/√x,其定义域为x>0,g(x)=√x,则其值域为g(x)>0,则f(x)的定义域为x>0
而实际上f(x)=5/x,其定义域为x≠0,与计算结果不同,怎么回事?
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0020070424
2014-09-20 · 超过54用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
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  (你好,我会先描述一下对这个问题,我认为的关键要点,然后,再叙述一下我对于复合函数这方面问题的想法,如果关键要点中有你想要的内容,大可不必再往下看了,如果还有些许不明了,可以继续看,此外为了便于理解,我可能说的比较罗嗦和直白,希望我的理解对你有帮助。)


  我的理解:

  我觉得这个问题的根本在于对两个个定义的理解:复合函数和定义域。

  首先,复合函数我的理解是:存在两个函数f(x),g(x),当f(x)的定义域和g(x)的值域交集不为空集,则可以复合成f[g(x)]的形式。(如果令u=g(x),f[g(x)]=f(u),此处的f(u)的自变量u的取值范围就是你所要求的f(x)的自变量,只是用不同的字母代替罢了。)

       其次,定义域是指自变量 x的取值范围。何为取值范围?我的理解就是可以取的值和能够取到的值。

  可以取,就是在法则f下有意义;能够取到,就比如在一些实际问题中,虽然一些自变量的值可以取,但是由于实际条件的约束,而无法取到,而另一些却可以。

  这个问题就在于此,对于f(x)来说一些值是可以取,但是取不到。

  (也可以把这类问题当作实际问题来看,比如匀速直线运动,当速度为1时,S(t)=vt=t,对于函数S=t来说,t可以去任意实数,而对于匀速直线运动来说,t的值至少不为负数,不是对于S(t)来说不可以取,而是对于实际问题来说,时间大于等于0,而这里的约束就是g(x),而事实上,f(x)中的x就是g(x),只不过用不同的字母表述而已。)

  所以,对于f[g(x)]来说,f(x)的定义域,可以取的值是令f有意义的值,而能够取得到的值是在f[g(x)]的定义域约束下的g(x)的值域中的值,而所要求的定义域是在可以取的前提下能够取得到的值。


  以下展开分析:(如果已经理解了,可以不看)

(注:以下提到的类似于“f(x)的定义域”和“g(x)的值域”等都是未复合之前的值,复合之后的值会在表述上有所区别)

根据上述我对复合函数的定义的理解,有复合的条件:f(x)的定义域和g(x)的值域交集不为空集,这样就存在着四种情况:

(1)f(x)的定义域和g(x)的值域相等,这种情况最简单,f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域。

(2)f(x)的定义域真包含于g(x)的值域,这种情况下,f[g(x)]的定义域就是在g(x)的定义域中,去掉那些,使g(x)的值不在f(x)定义域中的x的值。

(3)f(x)的定义域真包含g(x)的值域,(这种情况就是你所提问题的情形)这种情况,f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域 ,因为所有g(x)的值都能使f(x)有意义。

(4)f(x)的定义域与g(x)的值域交集不为0,且两者中都含有不属于对方的元素,这种情况下,f[g(x)]的定义域就是使f(x)有意义的g(x)的值所对应的x的值。

正着从复合的过程分析应该没有问题,很好理解(需要注意的就是f[g(x)]的定义域是必然能使f(x)和g(x)都有意义的,在每种情况的第一副图中体现的方式,就是相交部分所对应的x的值。)


接下去就对应以上四类结合你的问题分析:

(1)f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域,此时,通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域,进而得到f(x)的定义域,这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果是一样的。

(2)f[g(x)]的定义域真包含于g(x)的定义域,通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域,进而得到f(x)的定义域,这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果也是一样的。

(3)f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域,(这种情况就是你所提问题的情形)通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域,进而得到f(x)的定义域,这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果是不一样的,因为前者剔除了g(x)取不到的那些值。

(4)f[g(x)]的定义域真包含于g(x)的定义域,通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域,进而得到f(x)的定义域,这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果也是不一样的,同样也是剔除了g(x)取不到的那些值。


从复合函数,复合的过程来看:

在复合之前,f(x)和g(x)的定义域都是使函数有意义的值的集合,值域就是在对应法则施加到自变量上,所得的因变量的集合;

在复合之后,(对于你的问题)已知f[g(x)]的情况下,f(x)和g(x)已经不能单独分析,要整体结合f[g(x)]来分析,因为在f[g(x)]复合的时候已经对f(x)和g(x)定义域的取值进行了约束、附加了条件。

从图像上来体现的方式就是,f(x)的定义域和g(x)的值域那四种情况的四幅图中,凡是f(x)的定义域包含于g(x)的值域的,求得的f(x)的定义域和直接求f(x)的定义域的值是相等的;凡是f(x)的定义域真包含g(x)的值域的,求得的f(x)的定义域和直接求f(x)的定义域的值都是不等的。

从定义域的定义来看,一些不符合约束条件的值已经取不到,既然取不到自然不在定义域里了。再简单点说,题目中求f(x)定义域可以理解为求(f[g(x)]中)f(x)的定义域,这样就是求g(x)的值域这点就更好理解了。

玉杵捣药
高粉答主

2014-09-20 · 醉心答题,欢迎关注
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