Question

证明函数等于零

大学专业数学问题 求大神

Answer 1

由f可导, 等式两边求导得: f'(x)+f'(x+1/2) = 2f'(2x).
于是f'(x) = 1/2·(f'(x/2)+f'(x/2+1/2)).
反复利用上式得:
f'(x) = 1/2·(f'(x/2)+f'(x/2+1/2))
= 1/4·(f'(x/4)+f'(x/4+1/4)+f'(x/4+2/4)+f'(x/4+3/4))
= 1/8·(f'(x/8)+f'(x/8+1/8)+f'(x/8+2/8)+f'(x/8+3/8)+f'(x/8+4/8)+f'(x/8+5/8)+f'(x/8+6/8)+f'(x/8+7/8))
...
= 1/2^n·∑{0 ≤ k ≤ n-1} f'(x/2^n+k/2^n).
对任意x ∈ [0,1], 该式右端是f'(t)在[0,1]上对应分划0 < 1/2^n < 2/2^n <... < 1的一个Riemann和.
而f'连续, 从而Riemann可积, 当n → ∞时Riemann和收敛到∫{0,1} f'(t) dt = f(1)-f(0) = 0.
因此f'(x) = 0对任意x ∈ [0,1]成立, 进而对任意实数成立(f'以1为周期).
于是f(x)为常值函数, 代回原条件即知f(x)恒等于0.

追问

大神呀 厉害 能不能再帮我解决一道题(*^__^*)

追答

我可以试试.

追问

能不能帮我在看一题(^_^)

追答

用反证法, 假设不存在这样的(x[0],y[0]).
则f(x,y)-g(x,y)恒正或恒负, 不妨设其恒正.
则c = min{f(x,y)-g(x,y)} > 0,
f(x,y) ≥ g(x,y)+c在[0,1]²上恒成立.
于是f(x[n+1],y[n+1])
≥ g(x[n+1],y[n+1])+c
= f(x[n],y[n])+c.
由此可得n → ∞时f(x[n],y[n]) → +∞,
f在[0,1]²上无界, 与f的连续性矛盾.

追问

厉害 谢谢(^_^)

Answer 2

证明：

在已知等式中，左右同时取x->+∞的极限，
设t=lim(x->+∞) f(x)
得到t+t=t
所以lim(x->+∞) f(x)=t=0

假设f(x)不是个常函数，
那么在一个周期上，必然存在x1和x2，使得函数有f(x1)=a和f(x2)=b两种取值。
所以lim(n->∞) f(x1+n)=f(x1)=a，lim(n->∞) f(x2+n)=f(x2)=b
那么，根据极限的唯一性，lim(x->+∞) f(x)不存在。
这与lim(x->+∞) f(x)=0矛盾
所以f(x)是个常函数。

设f(x)=a，带入原等式，得到a+a=a
所以f(x)=a=0

追问

刚开始在你取极限的时候，那个极限不一定存在比如sin（x）取极限不存在

追答

我当然知道了，
但是在等式两端取某一个变量的极限，这是恒等变形。
我求出来了，就说明极限存在。

这个极限是求出来的。

追问

鹅鹅鹅 比如cos（x+π/2）=sin(x) 两边取极限存在吗 明显不存在 还有就是你那个t是假设的不一定存在

追答

你这个能够解出来
因为cos（x+π/2）=-sinx=sinx

所以sinx=0
x=nπ
只在特定的点满足条件。

而题目中，那个等式是在x∈R上都满足的恒等式。
你看能不能找到一个函数满足这种啊？