Question

数学问题:(有图)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中

1,(有图)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中

(1)求点D1到B1C的距离

答案:√6/2

(2)求点D到面ACB1的距离

答案: 2√3/3

2,已知cos(α+(π/4))=3/5,π/2≤α<3π/2,求cos(2α+(π/4))的值

3,若|z+3+4i|=2,则|z|的最大值()

A,3 B,7 C,2 D,5

4,在△ABC中,已知A(-2,0),B(2,0),且|AC|,|AB|,|BC|成等比数列,求点C的轨迹方程

最好解析一下

Answer 1

1、（1）连结CD1，B1C，B1D1，三线均为正方形的对角线，长√2，在平面B1CD1上作DF⊥B1C，
三角形为正三角形，B1C=√2，DF=√3/2*√2=√6/2。
（2）、连结DB1、B1C，AB1，AC，棱锥体积B1-ACD=S△ACD*BB1/3=1/6，棱锥体积D-AB1C= S△AB1C*h/3,(h是D点至平面AB1C的距离)，S△AB1C=√3/4（√2）^2=√3/2,棱锥体积D-AB1C=棱锥体积B1-ACD, √3/2*h/3=1/6,h=√3/3, D到面ACB1的距离√3/3。
2、cos(α+(π/4))=3/5,π/2≤α<3π/2，3/5>0, α+π/4在第4象限，3π/2<= α+π/4<2π<7π/4,5π/4<=α<3π/2用余弦和角公式，cos(α+(π/4))=cosαcos(π/4)-sinαsin(π/4)=√2/2（cosα-sinα）
√2/2（cosα-sinα）=3/5，两边平方，（1-2sinαcosα）/2=9/25,sin2α=7/25
5π/4<=α<3π/2, 5π/2<=2α<3π, π/2<=2α<π,(去掉一个周期,为第二象限角，应为负值)，cos2α=-√[1- (sin2α）^2)=-24/25
再利用余弦和角公式，
cos(2α+(π/4))= cos(2α)cos(π/4)-sin(2α)*sin(π/4)=（-24/25）*√2/2-7/25*√2/2
=-31√2/50。
3、设z=a+bi,|z|=√(a^2+b^2),|z+3+4i|=2,
|z+3+4i|=√(a+3)^2+(b+4)^2=2,3+4i的模为5，z所表示的向量应在其反方向，其最大值应是[√(3^2+4^2)]+2=7,最小值为[√(3^2+4^2)]-2=3，故应选B，在复平面上，对应3+4i的向量是-3-4i，设该点为M，以复平面点M为圆心，2为半径的圆周上均满足Z的要求，向量OM延长与圆相交于N，即得到最大值点，|ON|=7。
4、|AB|=√[（-2）^2+2^2]=2√2，|AB|是|AC|和|BC|的比例中项，BC^2=|AB|*|BC|,设C点坐标为（x,y）,根据两点距离公式，[√(x^2+(y+2)^2)]√((x-2)^2+y^2）=(2√2)^2=8, 点C的轨迹方程(x^2+4y+y^2+4)(x^2-4x+y^2+4)=64,

Answer 2

1、（1）取B1C的中点G，连C1G、D1G，
因为BCC1B1是正方形，所以C1G⊥B1C。
又D1C1⊥侧面BCC1B1，由三垂线定理知D1G⊥B1C
所以D1G的长度等于点D1到B1C的距离。
C1G=B1C/2=√2/2
对Rt△GC1D1 运用勾股定理得
D1G²=C1D1²+C1G²=1²+(√2/2) ²=3/2，
所以D1G =√6/2

（2）点D到面ACB1的距离为h，
设AB1=B1C=AC=√2，所以△ACB1是等边三角形，所以
△ACB1的面积为
S=0.5*AB1*AC*sin60=0.5*√2*√2*√3/2=√3/2
三棱锥D1-ACB1的体积为
V=(1/3)*S*h=√3h/6

又V=(正方体体积)-(三棱锥B-ACB1的体积)- (三棱锥A1-AB1D1的体积)-(三棱锥C1-CB1D1的体积)-(三棱锥D-ACD1的体积)
=1-4*(三棱锥B-ACB1的体积)
=1-4*[(1/3)*(1/2)*BC*BB1*AB]
=1-4*[(1/3)*(1/2)*1*1*1]
=1/3

从而√3h/6=1/3，解得h=2√3/3
所以点D到面ACB1的距离为2√3/3。

2、因为π/2≤α<3π/2，所以3π/4≤α+π/4<7π/4，
又cos(α+π/4)=3/5>0，所以3π/2<α+π/4<7π/4，进而求得5π/4<α<3π/2
所以5π/2<2α<3π

由已知cos(α+π/4)=3/5，两边平方得
cos² (α+π/4)=(3/5)²，
运用半角公式
[ 1+cos(2α+π/2) ]/2=9/25
1+sin(-2α)=18/25
sin2α=7/25
前面已经得出5π/2<2α<3π，所以
cos2α=√(1-sin ²2α)= √[1-(7/25) ²]=24/25

所以
cos(2α+π/4)=(√2/2)(sin2α+cos2α)= (√2/2)(7/25+24/25)=31√2/50

3、答案选B
|z+3+4i|=2可变形为|z-(-3-4i)|=2，
则z表示与向量(-3-4i)距离为2的所有向量，
也即，z表示以点P(-3，-4)为圆心，半径r=2的圆上所有的点代表的向量。
经过原点及点P(-3，-4)的直线与圆交于两点，这两点到原点的距离分别为|z|的最大值和最小值。所以|z|的最大值为
dmax=r +|OP| =2+√(3²+4²)=2+5=7

Answer 3

第一题的第一问：
从D1到b1c的距离与b1到ac的距离相同；
因此连接ab1 ac并且从b1向ac做垂线为B1E
又因AB1=AC=B1C=根号2，是等边三角形
所以B1E=√6/2

Answer 4

这个直接问老师比较好，很难说的清

Answer 5

问题是：我难得打字！~~