Question

线性代数 拉普拉斯定理D=|a 0 0 b| |0 c d 0| |0 e f 0| |g 0 0 h| 求解

为何得D=|a b|(-1)|c d|

|g h| |e f|

Answer 1

拉普拉斯定理是：在n阶行列式中，任意选定K行（列）（1<=k<=n-1)，由这K行(列)组成的所有k阶子式与他们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
你这个题，它选定第一行和第四行这两行，那么这两行的所有二阶子式共有六个，但只有一个不等于0，就是
|a b|
|g h|
而这子式对应的代数余子式是
（-1）| c d|
|e f |
由这2行组成的所有二阶子式与他们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
实际上乘积之和中就只有这一项
|a b|(-1)|c d|
|g h| |e f|
不等于0，所以行列式D等于乘积之和

=|a b|(-1)|c d|
|g h| |e f|