Question

【求解惑】向量的相关问题！

向量的数量积公式不是a•b=|a||b|cos中间角吗？但向量的乘法运算律为什么又写（a+b）•（a-b）=a^2-b^2，难道不应该是|a+b||a-b|cos中间角吗？望大神解答！谢谢！

Answer 1

建议你上电脑查看,因为有些符号手机无法显示
平面向量的点乘有两个定义
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
第一定义:a*b=x1x2+y1y2
第二定义:a*b=|a||b|cos<a,b>
如果这两个定义等价,那麼所有|a||b|cos<a,b>的形式都可以转化为求x1x2+y1y2,然後就可以采用楼上的证明方法.
证明:把这两个向量的起点分别移动到原点上,那麼向量终点的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)
根据第二定义,有a*b=√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)*cosθ
设bcosθ=c,那麼c的起点在原点,终点在a所在直线上.a所在直线的方程为y=y1/x1*x,斜率是y1/x1
垂直於a的直线斜率就是-x1/y1,并且该直线过b的终点(x2,y2),那麼该直线方程为y-y2=-x1/y1*(x-x2)
求得其交点坐标为x=x1(x1x2+y1y2)/(x1²+y1²),y=y1(x1x2+y1y2)/(x1²+y1²),这就是c的终点坐标,也是向量c的坐标.
∴a*b=|a||c|=√(x1²+y1²)*√(x²+y²)
=√(x1²+y1²)*√[x1²(x1x2+y1y2)²/(x1²+y1²)²+y1²(x1x2+y1y2)²/(x1²+y1²)²]
=√(x1²+y1)*√[(x1²+y1²)(x1x2+y1y2)²/(x1²+y1²)²]
=√(x1²+y1²)*√[(x1x2+y1y2)²/(x1²+y1²)]
=√(x1x2+y1y2)²
=x1x2+y1y2
即根据第二定义,a*b=|a||b|cosθ,可以转化成求两个向量横坐标乘积与纵坐标乘积之和.

∴设a+b=m,a-b=n,a=(x1,y1),b=(x2,y2)
那麼m=(x1+x2,y1+y2),n=(x1-x2,y1-y2)
∴m*n=|m||n|cos<m,n>=(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)
=x1²-x2²+y1²-y2²
=(x1²+y1²)-(x2²+y2²)
=a²-b²

从这个定义还可以导出点乘满足分配律.(a+b)*c=a*c+b*c
a+b=(x1+x2,y1+y2)
∴等号左边=(x1+x2)x3+(y1+y2)y3
等号右边=x1x3+y1y3+x2x3+y2y3=(x1+x2)x3+(y1+y2)y3=左边
即点乘满足分配律.

Answer 2

这两个都对，算出来的答案是一样的

追问

为啥一样呢？

追答

你可以举几个具体的向量带进去算一下
会发现是一样的

追问

能否麻烦您帮我写一下字母形式的运算，这样更有普遍性呀。。

追答

追问

谢谢！我明白了~