Question

f(x)=lnx+a/x^2 求单调区间和零点个数

Answer 1

f¹(x)1/x -2a/x³=(x²-2a)/x³ (x>0)

当a≤0，f¹(x)≥0,f(x)在（0，+∞）增函数，x→0时，f(x)→-∞,x→+∞时，f(x)→+∞,所以只有一个零点
当a>0,x²-2a=(x-v2a)(x+v2a)
当x>v2a时，f¹(x)>0,f(x)在（v2a,+∞)增函数
当0<x<v2a时，f¹(x)＜0,f(x)在（0，v2a)减函数
f(v2a)是最大值。f(v2a)=lnv2a+1/2>0
x→0时，f(x)→-∞ ,而x>v2a,f(x)>0
所以也只有1个零点

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追问

当x>v2a时，f¹(x)>0,f(x)在（v2a,+∞)增函数
当0<x<v2a时，f¹(x)＜0,f(x)在（0，v2a)减函数
f(v2a)不是最小值吗

Answer 2

(1)f(x)的导数=1/x(1-2a/x^2)
a>0,单减区间（0,根号2a),单增区间（根号2a,正无穷）
a<0,在定义域内单增
（2）0<a时，f(根号2a)=1/2(ln2a+1)，无零点。a<0时，1个零点
求采纳为满意回答。

追问

为何a大于0就没有零点？