Question

已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1.当a,b∈[-1,1],a+b≠0

已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1.当a,b∈[-1,1],a+b≠0时，有f(a)+f(b)/a+b>0,判断f(x)在其定义域上是增函数还是减函数

Answer 1

用单调函数的定义证明：
令a=x1,b= - x2
a+b<0
也就是 x1<x2
f(a)+f(b)>0
即f(x1)+f(-x2)>0
因为f(x)是奇函数，所以，f(-x2)= - f(x2)则；
f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)是定义域上的减函数；

追问

有错误

追答

方向反了；
用单调函数的定义证明：
令a=x1,b= - x2
a+b<0
也就是 x1<x2
(a+b)与f(a)+f(b)同号
f(a)+f(b)<0
即f(x1)+f(-x2)<0
因为f(x)是奇函数，所以，f(-x2)= - f(x2)则；
f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)是定义域上的增函数

追问

谢谢你

函数f(x)=x

函数f(x)=x×|x-1|的单调递增区间，给出证明

追答

(1)
f(x)=x的单调增区间就是R
证明：
对任意的x1,x2∈R,且，x11时，
f(x)=x^-x
抛物线的开口向上，对称轴为x=1/2,函数在[1,+∞)上单调增；所以单调增区间是[1,+∞)
当x≤1时，f(x)= -x^2+x,
抛物线开口向下，对称轴为：x= 1/2
单调增区间为：(-∞,1/2)
所以原函数的单调增区间是：
（-∞，1/2] ; [1,+∞);
注：单调区间与端点的开闭无关