Question

线性代数证明题：设A为n阶方阵，A^n=0但A^(n-1)≠0……

Answer 1

要证：A^k η ，k从1到n-1 是 A^(n-1) x = 0 的基础解系。

首先，对任意 k，A^k η 都是解，这是因为：
A^(n-1) (A^k η) = A^(k-1) (A^n η) = A^(k-1) 0 = 0

其次，由于 A^(n-1) ≠ 0，所以 A^(n-1) 的秩至少是1。
所以，n阶矩阵 A^(n-1) 的零空间至多有 n-1 维。
所以，如果 A^k η ，k从1到n-1 这 n-1 个向量线性无关的话，那么它们必然构成一个基础解系。

下面我们证明 A^k η ，k从1到n-1 线性无关。
用数学归纳法。
第1步，A^(n-1) η 线性无关，就一个向量，当然线性无关。
第2步，A^(n-1) η 和 A^(n-2) η 线性无关。
因为 A^(n-1) η = A (A^(n-2) η) ≠ 0，所以 A^(n-2) η 不在 Ax = 0 的零空间中。
而 A^n η = A (A^(n-1) η) = 0，所以 A^(n-1) η 在 Ax = 0的零空间中。
因为零空间是线性子空间，所以属于它的向量和不属于它的向量线性无关。
……
第m步，假设 A^(n-1) η、A^(n-2) η、...、A^(n-m+1) η 都已线性无关，要证 A^(n-m) η 也与它们都线性无关。
因为 A^(n-1) η = A^(m-1) (A^(n-m) η) ≠ 0，所以 A^(n-m) η 不在 A^(m-1)x = 0 的零空间中。
而对于任意 k < m，A^(n+m-k-1) η = A^(m-1) (A^(n-k) η) = 0，
所以，对于任意 k < m，A^(n-k) η 在 A^(m-1)x = 0的零空间中。
因为零空间是线性子空间，所以属于它的向量和不属于它的向量线性无关。
……
综上，所有的 A^k η ，k从1到n-1 线性无关。

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最后，多说几句，关于幂零矩阵的性质。
一般的n阶幂零矩阵：A^m = 0，但 A^(m-1) ≠ 0。
m不一定等于n，可以证明：m<=n。
A、A^2、...、A^m 的零空间是真包含关系：
ker(A) < ker(A^2) < ... < ker(A^(m-1)) < ker(A^m) = V

其中，ker(A^k) 代表 A^k 的零空间，< 代表真包含的符号（打不出来）。

可以这么证：
首先，若 A^k x = 0，则 A^(k+1) x = A (A^k x) = 0，所以 ker(A^k) <= ker(A^(k+1))。
再证明它们是真包含，也就是把等号去掉。
反证法。假设 ker(A^k) = ker(A^(k+1))
对于任意的x，若 A^(k+2) x = 0，即 A^(k+2) x = A^(k+1)(Ax) = 0，
所以 Ax ∈ ker(A^(k+1)) = ker(A^k)，所以 A^k (Ax) = A^(k+1) x = 0，
所以 ker(A^(k+2)) = ker(A^(k+1)) = ker(A^k)
于是，这么推下去，对于任意的 p > k，ker(A^p) = ker(A^k)
最后有：V = ker(A^m) = ker(A^k)，也就是 A^k 必须全零，矛盾。

再结合我们这道题：A^n = 0，A^(n-1) ≠ 0。
ker(A) < ker(A^2) < ... < ker(A^(n-1)) < ker(A^n) = V
所以，只能是：ker(A^k) 是个k维空间，有k个线性无关的向量。
而 A^(n-k) η 就是 ker(A^k) 比前面的空间多出的那个线性无关的向量。

Answer 2

由于 A^n = 0
所以 A^(n-1) (A^kη) = A^(n-1+k)η = 0, k=1,2,...,n-1
所以 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 都是 A^(n-1)x=0 的解

由于 A^(n-1)≠0

所以 R(A^(n-1)) >=1

所以 A^(n-1)x=0 的基础解系含 n-R(A^(n-1)) <= n-1 个向量
所以只需证明 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 线性无关, 则它就是A^(n-1)x=0 的基础解系

设 k1Aη+k2A^2η+...+kn-1A^(n-1)η=0 (1)
等式两边乘A^(n-2), 则已知得 k1A^(n-1)η=0
由于 A^(n-1)η≠0, 所以 k1=0.
(1)式化为 k2A^2η+...+kn-1A^(n-1)η=0 (2)
等式两边乘A^(n-3), 则已知得 k2A^(n-1)η=0
由于 A^(n-1)η≠0, 所以 k2=0.
(1)式化为 k3A^3η+...+kn-1A^(n-1)η=0 (3)
如此下去得 k1=k2=...=kn-1=0
所以 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 线性无关.

所以 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 是A^(n-1)x=0 的基础解系