Question

已知圆C1：x²+y²+6x=0关于直线L1:y=2x+1对称的圆C。 （1）求圆C的方程。

（2）过点（-1,0）作直线L与圆C交于A、B两点，O是坐标原点。设向量OS=向量OA+向量OB，是否存在这样的直线L，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线L的方程；若不存在，请说明理由。
第（1）问我已经解出来了，是（x-1)²+(y+2)²=9

Answer 1

①x^2+y^2+6X=0
圆心（-3，0），半径 等于3
圆心（-3，0）关于直线L1：Y=2X+1对称的点是（1，-2）
所以所求方程为（x-1)²+（y+2)²=9
②
根据向量的几何意义知道四边形OASB是平行四边形，因为对角线相等，∠AOB=∠AOS+∠BOS=∠OAB+∠OBA=∠SBA+∠OBA=∠OBS，
所以∠AOB=∠OBS=90°，所以四边形OASB是矩形，也就是说OA⊥OB 直线过点(-1，0)，是圆C外的一点，所以直线可设为斜率式y=k(x+1)
OA⊥OB，即是[x(1)，y(1)]*[x(2)，y(2)]=0所以x(1)x(2)+y(1)y(2)=0将y=k(x+1)代入，有(1+k^2)x(1)x(2)+k^2[x(1)+x(2)]+k^2=0 直线L与圆的相交，
联立直线L与圆C的方程，化成关于x的方程，(1+k^2)x^2+2(k^2+2k-1)x+(k^2+4k-4)=0
所以x(1)x(2)=(k^2+4k-4)/(1+k^2)，
x(1)+x(2)= -2(k^2+2k-1)/(1+k^2) (k^2+4k-4)-2k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)+k^2=0
即是(k^2+2k-2)-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0
(k^2+2k-1)-1-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0
(k^2+2k-1)/(1+k^2)=1化简后2k-1=1
k=1所以直线的方程是y=x+1

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