Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．（1）若sin∠BAD= 3 5 ，

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．（1）若sin∠BAD= 3 5 ，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，OD=5， ∴∠ADB=90°，AB=10， 在Rt△ABD中，sin∠BAD= BD AB ，sin∠BAD= 3 5 ， ∴ BD 10 = 3 5 ，BD=6， ∴AD= A B 2 -B D 2 = 10 2 - 6 2 =8， ∵∠ADB=90°，AB⊥CD， ∴DE?AB=AD?BD，CE=DE， ∴DE×10=8×6， ∴DE= 24 5 ∴CD=2DE= 48 5 ； （2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ CB = BD ， AC = AD ， ∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD， ∵AO=DO， ∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CDB=∠ADO， 设∠ADO=4x，则∠CDB=4x． 由∠ADO：∠EDO=4：1，则∠EDO=x． ∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°， ∴4x+4x+x=90°， 解得：x=10°， ∴∠AOD=180°-（∠OAD+∠ADO）=100°， ∴∠AOC=∠AOD=100°， ∴S 扇形OAC = 100 360 ×π× 5 2 = 125 18 π ．