Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C 1 ：y=x 2 +3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C 1 ：y=x 2 +3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C 2 ．C 2 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线C 2 的解析式；（2）若抛物线C 2 的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C 2 交于点D，与抛物线C 1 交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积；（3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C 2 上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵将抛物线C 1 ：y=x 2 +3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C 2 ， ∴抛物线C 1 的顶点（0，3）向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到（1，-4）． ∴抛物线C 2 的顶点坐标为（1，-4）． ∴抛物线C 2 的解析式为y=（x-1） 2 -4， 即y=x 2 -2x-3； （2）证明：由x 2 -2x-3=0， 解得：x 1 =-1，x 2 =3， ∵点A在点B的左侧， ∴A（-1，0），B（3，0），AB=4． ∵抛物线C 2 的对称轴为x=1，顶点坐标D为（1，-4）， ∴CD=4．AC=CB=2． 将x=1代入y=x 2 +3得y=4， ∴F（1，4），CE=CD． ∴四边形ADBE是平行四边形． ∵ED⊥AB， ∴四边形ADBE是菱形． S 菱形ADBE =2× 1 2 ×AB×CE=2× 1 2 ×4×4=16． （3）存在．分OB为平行四边形的边和对角线两种情况： ①当OB为平行四边形的一边时，如图1， 设F（1，y）， ∵OB=3，∴G 1 （-2，y）或G 2 （4，y）． ∵点G在y=x 2 -2x-3上， ∴将x=-2代入，得y=5；将x=4代入，得y=5． ∴G 1 （-2，5），G 2 （4，5）． ②当OB为平行四边形的一对角线时，如图2， 设F（1，y），OB的中点M，过点G作GH⊥OB于点H， ∵OB=3，OC=1，∴OM= 3 2 ，CM= 1 2 ． ∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM= 1 2 ．∴OH=2． ∴G 3 （2，-y）． ∵点G在y=x 2 -2x-3上， ∴将（2，-y）代入，得-y=-3，即y=3． ∴G 3 （2，-3）． 综上所述，在抛物线C 2 上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为G 1 （-2，5），G 2 （4，5），G 3 （2，-3）．