Question

已知函数 f(x)=(1- a x ) e x (x＞0) ，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（

已知函数 f(x)=(1- a x ) e x (x＞0) ，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e 5 ，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)= x 2 -ax+a x 2 e x ，…（3分） 当a=2时， f′(x)= x 2 -2x+2 x 2 e x ， f′(1)= 1-2+2 1 2 × e 1 =e ，f（1）=-e， 所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex-2e，…（5分） 切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，-2e），…（6分） ∴所求面积为 1 2 ×2×|-2e|=2e ．…（7分） （Ⅱ）因为函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点， 所以，方程x 2 -ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，…（8分） 则 △= a 2 -4a＞0 a＞0. …（9分） 所以a＞4．…（10分） 设x 1 ，x 2 为函数f（x）的极大值点和极小值点， 则x 1 +x 2 =a，x 1 x 2 =a，…（11分） 因为f（x 1 ）f（x 2 ）=e 5 ， 所以 x 1 -a x 1 e x 1 × x 2 -a x 2 e x 2 = e 5 ，…（12分） 即 x 1 x 2 -a( x 1 + x 2 )+ a 2 x 1 x 2 e x 1 + x 2 = e 5 ， a- a 2 + a 2 a e a = e 5 ，e a =e 5 ， 解得a=5，此时f（x）有两个极值点， 所以a=5．…（14分）