Question

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD= ACAE= AB,BD,CE相交于点F. （Ⅰ）求证:A,E,F, D四点共

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD= ACAE= AB,BD,CE相交于点F. （Ⅰ）求证:A,E,F, D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.





Answer 1

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ)根据圆内接四边形判定定理，只需说明对角互补即可，由已知数量关系，可证明 ，故 ，所以 ，所以四点共圆；(Ⅱ)四边形的外接圆问题 可转化为其中三个顶点确定的外接圆问题解决，取 的中点 ,连接 则容易证 ，则 的外接圆半径为 ，也是四边形的外接圆半径. 试题解析：(Ⅰ)证明:∵ , ∴  , ∵在正 中,  , ∴ , 又∵ , , ∴ , ∴ , 即 ,所以 四点共圆. (Ⅱ)解:如图, 取 的中点 ,连接 ,则 , ∵ , ∴ , ∵ ,∴ ,又 , ∴ 为正三角形, ∴ ,即 , 所以点 是 外接圆的圆心,且圆G的半径为2. 由于 四点共圆,即 四点共圆 ,其半径为 .