Question

已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．（1）证明：直线恒过定点；（2）m为何值时，点Q（3，4）到直

已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．（1）证明：直线恒过定点；（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

（1）证明：直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，可化为（2x+y+4）+m（-x+2y+3）=0，对任意m都成立，所以

?x+2y+3＝0 2x+y+4＝0

，解得

x＝?1 y＝?2

，所以直线恒过定点（-1，-2）；
（2）解：点Q（3，4）到直线的距离最大，
可知点Q与定点（-1，-2）的连线的距离就是所求最大值，
即

(3+1)2+(4+2)2

=2

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．
（3）解：若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，直线方程为y+2=k（x+1），k＜0，
则A（

2

k

?1，0），B（0，k-2），
S_△AOB=

1

2

|

2

k

?1||k?2|=

1

2

(

2

k

?1)(k?2)=2+(

2

?k

+

?k

2

)≥2+2=4，当且仅当k=-2时取等号，面积的最小值为4．
此时直线的方程为2x+y+4=0．