Question

如图，已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=50°，则∠BPC=______度

如图，已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=50°，则∠BPC=______度；（2）若∠A=x°，试求∠BPC的度数（用含x的代数式表示）；（3）现将一直线MN绕点P旋转．①当直线MN与AB、AC的交点M、N分别在线段AB和AC上时（如图1），试求∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与AB的交点M在线段AB上，与AC的交点N在AC的延长线上时（如图2），试问①中的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC=80°，∠ACB=50°，
∴∠PBC=40°，∠PCB=25°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=115°，
故答案为：115；

（2）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A
=90°+

1

2

x°；

（3）①∠MPB+∠NPC=90°-

1

2

∠A，
理由如下：
∵∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A；

②原结论不成立，正确的是∠MPB-∠NPC=90°-

1

2

∠A，
理由如下：
由图可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，
由知①：∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC
=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A．