Question

（2014?昆山市二模）如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x

（2014?昆山市二模）如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=12．（1）求k的值；（2）设点N（1，a）是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，
∵tan∠AHO=

OA

OH

=

1

2

，
∴OH=2，
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为2，
∵点M在直线y=x+1上，
∴点M的纵坐标为3，即M（2，3），
∵点M在y=

k

x

上，
∴k=2×3=6；
（2）∵点N（1，a）在反比例函数y=

6

x

的图象上，
∴a=6，即点N的坐标为（1，6），
过N作N关于y轴的对称点N₁，连接MN₁，交y轴于P（如图），
此时PM+PN最小，
∵N与N₁关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），
∴N₁的坐标为（-1，6），
设直线MN₁的解析式为y=kx+b，
把M，N₁的坐标得

6＝?k+b 3＝2k+b

，
解得：

k＝?1 b＝5

，
∴直线MN₁的解析式为y=-x+5，
令x=0，得y=5，
∴P点坐标为（0，5）．