如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求点C到平面A1BD的
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求点C到平面A1BD的距离．...
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求点C到平面A1BD的距离．
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几何法：
（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥BD．
连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD．
∴BD⊥平面AB1O．∴BD⊥AB1．（4分 ）
又在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，又BD∩A1B=B，
∴AB1⊥平面A1BD．∴AB1⊥A1D．（6分）
（Ⅱ）解：△A1BD中，BD=A1D=
，A1B=2
，
∴S△A1BD=
，S△BCD=1．
在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为
．（9分）
设点C到平面A1BD的距离为d．
由VA1-BCD=VC-A1BD得
S△BCD?
=
S△A1BD?d，（10分）
∴d=
=
（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥BD．
连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD．
∴BD⊥平面AB1O．∴BD⊥AB1．（4分 ）
又在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，又BD∩A1B=B，
∴AB1⊥平面A1BD．∴AB1⊥A1D．（6分）
（Ⅱ）解：△A1BD中，BD=A1D=
| 5 |
| 2 |
∴S△A1BD=
| 6 |
在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为
| 3 |
设点C到平面A1BD的距离为d．
由VA1-BCD=VC-A1BD得
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴d=
| ||
| S△A1BD |
|
