Question

将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC．（1）固定三角板A1

将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC．（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=______度；②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD．

Answer 1

（1）①∵将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，
∴∠A₁CA=20°
∴∠ACB₁=70°，
∴∠BCB₁=∠ACB+∠ACB₁=160°；
故答案为160；
②当旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直．理由如下：
当AB与A₁B₁垂直时，∠A₁ED=90°，
∴∠A₁DE=90°-∠A₁=90°-30°=60°，
∴∠BDC=60°，
∵∠B=60°，
∴∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA₁=90°-∠A₁CB=30°；
即旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直；
（2）∵AB∥CB₁，∠ACB₁=90°，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴CD=

1

2

AC，
∵图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，
∴AC=A₁C，
∴CD=

1

2

A₁C，
∴A₁D=CD．

Answer 2

（1）①∵将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，
∴∠A1CA=20°
∴∠ACB1=70°，
∴∠BCB1=∠ACB+∠ACB1=160°；
故答案为160；
②当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由如下：
当AB与A1B1垂直时，∠A1ED=90°，
∴∠A1DE=90°-∠A1=90°-30°=60°，
∴∠BDC=60°，
∵∠B=60°，
∴∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA1=90°-∠A1CB=30°；
即旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；
（2）∵AB∥CB1，∠ACB1=90°，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴CD=
1
2
AC，
∵图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，
∴AC=A1C，
∴CD=
1
2
A1C，
∴A1D=CD．