Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC＝CE；（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.

Answer 1

解：（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O ∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ∴DF⊥AC ∴DF垂直平分AC     （2）由（1）知：AG＝GC 又∵AD∥BC ∴∠DAG＝∠FCG 又∵∠AGD＝∠CGF ∴△AGD≌△CGF（ASA） ∴AD＝FC     ∵AD∥BC且AC∥DE ∴四边形ACED是平行四边形 ∴AD＝CE   ∴FC＝CE    （3）连结AO； ∵AG＝GC，AC＝8cm，∴AG＝4cm 在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝ 设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r-3 在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO 2 ＝OG 2 +AG 2 有：r 2 ＝(r-3) 2 +4 2 解得 r＝   ∴⊙O的半径为 cm.

（1）由DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，则DF⊥AC，进而可知DF垂直平分AC； （2）可先证△AGD≌△CGF，四边形ACED是平行四边形，即可证明FC=CE； （3）连接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=