Question

（2010?嘉兴）如图，已知抛物线y=-12x2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求A、B两点的坐标，并

（2010?嘉兴）如图，已知抛物线y=-12x2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

（1）令y=0，
得-

1

2

x²+x+4=0，即x²-2x-8=0；
解得x=-2，x=4；
所以A（4，0）；
令x=0，得y=4，
所以B（0，4）；
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有：

4k+b＝0 b＝4

，
解得

k＝?1 b＝4

，故此直线的解析式为：y=-x+4；

（2）当P（x，y）在直线AB上时，x=-x+4，解得x=2；
当Q（

x

2

，

x

2

）在直线AB上时，

x

2

=-

x

2

+4，解得x=4；
所以正方形PEQF与直线AB有公共点，且2≤x≤4；

（3）当点E（x，

x

2

）在直线AB上时，
（此时点F也在直线AB上）

x

2

=-x+4，解得x=

8

3

；
①当2≤x＜

8

3

时，直线AB分别与PE、PF有交点，
设交点分别为C、D；
此时PC=x-（-x+4）=2x-4，又PD=PC，
所以S_△PCD=

1

2

PC²=2（x-2）²；
S=S_{正方形PEQF}-S_△PCD=QE²-S_△PCD=（x-

x

2

）²-S_△PCD
从而S=

1

4

x²-2（x-2）²=-

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