Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求t，p的值；（Ⅱ）设A、B是抛物线上分

已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求t，p的值；（Ⅱ）设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且OA?OB＝5（其中O为坐标原点）．（ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ⅱ）过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得3+

p

2

＝4?p＝2，
所以抛物线方程为y²=4x，
代入可解得t＝±2

3

．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设直线AB的方程为x=my+t，A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)，
联立

y2＝4x x＝my+t

得y²-4my-4t=0，则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．…（6分）
由

OA

?

OB

＝5得：

(y1y2)2

16

+y1y2＝5?y1y2＝?20或y₁y₂=4（舍去），
即-4t=-20?t=5，所以直线AB过定点P（5，0）；…（10分）
（ⅱ）解：由（ⅰ）得|AB|＝

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