综合实践问题背景某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分
综合实践问题背景某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条...
综合实践问题背景某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．探索如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP（1）求证：四边形OMEP是菱形；（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）运用（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的53，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）∵AB∥EQ，
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴晌桥OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四边形OMEP是菱形．
（2）∵E点的坐标为（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（嫌庆m-y）2=x2+y2．
y=-
+
（0＜x＜
）．
（3）根据（2）知，点K的坐标为（x，-
+4）．
设EC的长为x，DE=BE=12-x，DC=8，
x2+82=（12-x）2
x=
．
同理：GH=
，DH=
，
△ECF∽△DHF，
∴
=
，
即
=
，
解得CF=5，
∴△ECF的面积为：
CE?CF=
×
×5=
．
△OCK的面积为：
×12（-
+4）．
△KCF的面积：
×
（-
+4）+
．
根据△KCF的面积是△KOC面宴者猛积得，
×
×12（-
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴晌桥OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四边形OMEP是菱形．
（2）∵E点的坐标为（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（嫌庆m-y）2=x2+y2．
y=-
| x2 |
| 2m |
| m |
| 2 |
| m2+n2 |
| 2n |
（3）根据（2）知，点K的坐标为（x，-
| x2 |
| 16 |
设EC的长为x，DE=BE=12-x，DC=8，
x2+82=（12-x）2
x=
| 10 |
| 3 |
同理：GH=
| 10 |
| 3 |
| 26 |
| 3 |
△ECF∽△DHF，
∴
| EC |
| DH |
| CF |
| DF |
即
| ||
|
| CF |
| CF+8 |
解得CF=5，
∴△ECF的面积为：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 10 |
| 3 |
| 25 |
| 3 |
△OCK的面积为：
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 16 |
△KCF的面积：
| 1 |
| 2 |
| 10 |
| 3 |
| x2 |
| 16 |
| 25 |
| 3 |
根据△KCF的面积是△KOC面宴者猛积得，
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
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