Question

设y=y（x）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x，y）处的曲率为11+y′2，且此曲线上点（0，1）处的切

设y=y（x）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x，y）处的曲率为11+y′2，且此曲线上点（0，1）处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y（x）的极值．

Answer 1

因曲线向上凸，故y’’＜0，依题意有

?y″

(1+y′2)

即：y''=-（1+y'²）
曲线经过点（0，1），故y（0）=1，又因为该点处的切线方程为y=x+1，即切线斜率为1
所以y’（0）=1，问题转化为求一下方程特解

y″＝?(1+y′2) y(0)＝1，y′(0)＝1

令y'=p，y''=p'
p'=-（1+p²）
分离变量解得：
arctanp=C₁-x
以p（0）=1代入，得到
C1＝arctan1＝

π

4

所以y’＝p＝tan(

π

4

?x)
再积分，得
y＝∫tan(

π

4

?x)dx＝ln|cos(

π

4

?x)|+C2
把y（0）=1代入
C2＝1+

1

2

ln2
故所求曲线方程为
y＝ln|cos(

π

4

?x)|+1+

1

2

ln2，x∈(?

π

4

，

3π

4

)
取其含有x=0在内连续的一支为
y＝lncos(

π

4

?x)+1+

1

2

ln2
当x→(?

π

4

)+或x→(

3π

4

)?时，
cos(

π

4

?x)→0，y→?∞
故此函数无极小值
当x＝

π

4

时，y为极大值
此时y＝1+

1

2

ln2