已知:如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,D是MN上任意一点,CD、BD的延长线分别与AB、AC
已知:如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,D是MN上任意一点,CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E,若1CE+1BF=1a(a>0),则△A...
已知:如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,D是MN上任意一点,CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E,若1CE+1BF=1a(a>0),则△ABC的边长为______.
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过点D分别作DP∥AB,DQ∥AC,交BC于点P、Q;
∵点M、N分别为AB、AC边的中点,
∴MN∥BC,MN=
BC;
∴四边形DMBP、四边形DNCQ分别是平行四边形,
∴BP=DM,CQ=DN,
∴BP+CQ=MN=
BC,PQ=BC-
BC=
BC(设为m)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°;
而∠DPQ=∠ABC=60°,∠DQP=∠ACB=60°,
∴△DPQ是等边三角形,DP=DQ=PQ=
m;
∵DQ∥AC,
∴
=
,
=
=
;
同理可证:
=
;
∴
+
=
,
而BQ+CP=(BQ+CQ)+PQ=m+
m=
m,
∴
+
=
;
又∵
+
=
,
∴
=
,m=3a;
即△ABC的边长为3a.
∵点M、N分别为AB、AC边的中点,
∴MN∥BC,MN=
1 |
2 |
∴四边形DMBP、四边形DNCQ分别是平行四边形,
∴BP=DM,CQ=DN,
∴BP+CQ=MN=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°;
而∠DPQ=∠ABC=60°,∠DQP=∠ACB=60°,
∴△DPQ是等边三角形,DP=DQ=PQ=
1 |
2 |
∵DQ∥AC,
∴
DQ |
CE |
BQ |
BC |
1 |
CE |
BQ |
DQ?BC |
2BQ |
m2 |
同理可证:
1 |
BF |
2CP |
m2 |
∴
1 |
CE |
1 |
BF |
2(BQ+CP) |
m2 |
而BQ+CP=(BQ+CQ)+PQ=m+
1 |
2 |
3 |
2 |
∴
1 |
CE |
1 |
BF |
3 |
m |
又∵
1 |
CE |
1 |
BF |
1 |
a |
∴
3 |
m |
1 |
a |
即△ABC的边长为3a.
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