Question

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，证明：存在(f(b)-f(a))/

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，证明：存在(f(b)-f(a))/(b-a)＝(c/ab)f'(c)

Answer 1

利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx，则根据条件可知：
f(x)，g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件，
∴在(a,b)上存在ξ，使得：
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即：[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得：f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)