Question

已知函数f（x）＝2∧x－a╱2∧x＋1（a＞-1）

1.当a＝2时，证明f（x）不是奇函数
2.判断函数f（x）的单调性，并给出证明
3.若f（x）是奇函数，且f（x）≥x²－4x＋m在x∈［-2，2］时恒成立，求实数m的取值范围

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励20（财富值+成长值）

Answer 1

（1）f(x)＝2^x-a•2^-x+1
a=2时，
f(x)=2^x-2•2^-x+1=2^x-2^(1-x)+1
f(-x)=2-x-2^(x+1)+1
f(x)+f(-x)=[2^x-(2•2^-x)+1)+[(2-x-(2•2^x)+1)=-2^x-2-x+2≥2-2•√2^x•2-x=0
∴f(x)不是奇函数。
（2）f'(x)=ln2•2^x+aln2•2^-x
a≥0时
∵ln2•2^x>0,aln2•2^-x≥0
∴f'(x)>0,f(x)在R域单调递增。
-1<a<0,时
f''(x)=ln²2•2^x-aln²2•2^-x恒大于0
∴f'(x)单调递增
f'(-1)=½ln2+2aln2=(1/2+a)ln2
∴a≥-½时，f'(x)>f'(-1)≥0,f(x)单调递增
-1<a<-½时，
f'(x)=0
2^x+a2^-x=0
2^2x=-a
x₀=½log₂(-a)
∴x<½log₂(-a)时f'(x)<0,f(x)单调递减、x≥½log₂(-a)时,f(x)单调递增。
综上a≥-½时，f(x)全R域单调递增；
-1<a<-½时,(-∞,½log₂(-a)),f(x)单调递减，(½log₂(-a)，+∞),f(x)单调递增。
（3）f(x)是奇函数
f(0)＝1-a+1=0，a=2，与（1）矛盾，题目应该有误。
说一下解题思路吧。
f(x)是奇函数，全域单调递增或递减，求出f(2)和f(-2)中间小的值min(f(2),f(-2))，抛物线x²-4x+m在[-2,2]间的最大值应该≤min(f(2),f(-2))