Question

已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（

已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）如果函数y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象下方，求实数m的取值范围；（3）如果m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）=ax 2 +bx+c（a≠0），…..1 分 ∵f（0）=1 ∴c=1，…．（2分） 又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1， ∴a=-1，b=2，…．（2分） 故f（x）=-x 2 +2x+1…．（1分） （2）由题意-x 2 +2x+1＜-x+m在x∈R上恒成立，即m＞-x 2 +3x+′1在R上恒成立． 令g（x）=-x 2 +3x+1易知g（x） max =g（ 3 2 ）= 13 4 ，所以 m＞ 13 4 ．…（4分） 说明：此题若直接用△做同样得满分． （3）因为m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立， 即mx+x 2 -2x＜0在m∈[-1，1]上恒成立． 令g（m）=mx+（x 2 -2x）， 则由 g(-1)= x 2 -3x＜0 g(1)= x 2 -x＜0 ∴0＜x＜1…．（4分）