Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．（Ⅰ）求椭圆C

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，（i）若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

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Answer 1

解：（Ⅰ）设C方程为 ，则 ． 由 ，得a=4 ∴椭圆C的方程为 ． （Ⅱ）（i）解：设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 直线AB的方程为 ， 代入 ，得x 2 +tx+t 2 ﹣12=0 由△＞0，解得﹣4＜t＜4 由韦达定理得x 1 +x 2 =﹣t，x 1 x 2 =t 2 ﹣12． 四边形APBQ的面积 ∴当t=0， ． （ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0， 设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k， PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2） 由 （1）代入（2）整理得 （3+4k 2 ）x 2 +8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k） 2 ﹣48=0 同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2）， 可得 ∴ 所以AB的斜率为定值 ．