Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0；f（1）=-2．（1）求证：

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0；f（1）=-2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明；（3）求使2≤|f（x）|≤6成立的x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，则有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，（2分）
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．（4分）
（2）在定义域内任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，（6分）
又∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．（8分）
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上为减函数．（9分）
（3）∵f（1）=-2，
∴根据题意可得：f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，
∴根据函数的奇偶性可得：f（-1）=-f（1）=2，f（-3）=6，（10分）
∵2≤|f（x）|≤6，
∴-6≤f（x）≤-2，或2≤f（x）≤6                   （12分）
∴f（3）=-6≤f（x）≤-2=f（1），f（-1）=2≤f（x）≤6=f（-3）
又∵f（x）是R上的减函数．
∴1≤x≤3或-3≤x≤-1，
∴x的取值范围为[-3，-1]∪[1，3]．（14分）