Question

已知：如图所示，梯形ABCD中，AD ∥ BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4 3 ，求梯形的面

已知：如图所示，梯形ABCD中，AD ∥ BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4 3 ，求梯形的面积．

Answer 1

方法一：过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E．（1分） ∵∠BAD=120°， ∴∠EAB=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2． ∵AD ∥ BC， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3=30°．（2分） 在Rt△BDE中，∵BD=4 3 ， ∴BE= 1 2 BD=2 3 ，ED=BD×cos30°=6．（4分） 在Rt△BEA中， ∴AE=BE?cot60°=2 3 × 3 3 =2， ∴AD=ED-AE=6-2=4，（5分） ∴S 梯形 = 1 2 （AD+BC）?EB= 1 2 ×（4+4 3 ）×2 3 =4 3 +12．（6分） 方法二：过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥BC于F．（1分） ∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∵AD ∥ BC， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB=AD． ∵∠BAD=120°， ∴∠2=∠3=∠1=30°．（2分） ∵BD=4 3 ， ∴ED= 1 2 BD=2 3 ．（3分） 在Rt△AED中，AD= 2 3 cos30° =4，（4分） 在Rt△BFD中，DF= 1 2 BD=2 3 ，（5分） ∴S 梯形 = 1 2 （AD+BC）?DF= 1 2 ×（4+4 3 ）×2 3 =4 3 +12．（6分）